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答えは７回です。
まず５０人のグループの二つに分けてその血液を混ぜてテストします。片方のグループで反応しなければもう片方に病気の人がいることが分かります。
このように何度もテストすれば最終的に絞り込むことができます。
１００→５０、５０
５０→２５，２５
２５→１３，１２ （手順が多くかかる可能性がある１３の方が反応したと考えます。以下同様。）
１３→７，６
７→４，３
４→２，２
２→１，１
よって答えは７回です。
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