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解法は二つあります。
(1)場合分けで考える解法と(2)仕切り方で考える解法です。
(19解法1 場合分けで考える方法（おすすめ）
この方法は、ボールが3個しかないからこそ使える、とても分かりやすい解き方です。
ステップ1 ボールのまとまり方を考える
3個の同じボールは、箱への入り方を考えると、次の3パターンしかありません。
・1個、1個、1個
・2個、1個
・3個
この3つ以外は存在しません。
例えば、
○ ○ ○
なら
・別々の箱
・2個と1個
・全部同じ箱
のどれかになります。
ステップ2 それぞれ数える
① 3個とも別々の箱
例えば
箱A ○
箱B ○
箱C ○
という形です。
つまり、10個の箱から3個選べばよいだけです。
これは組み合わせなので
10C3
となります。
計算すると
10C3
=10×9×8
÷(3×2×1)
=120通り
② 2個と1個に分かれる
例えば
箱A ○○
箱B ○
という形です。
まず
2個入れる箱
を選びます。
10通り
次に
1個入れる箱
を残り9個から選びます。
9通り
よって
10×9
=90通り
になります。
ここは
「2個の箱」と「1個の箱」
は役割が違うので
10C2ではありません。
順番があるので
10×9
になります。
3個とも同じ箱
例えば
箱A ○○○
という形です。
どの箱に入れるか選ぶだけなので
10通り
ステップ3 最後に全部足す
120
＋90
＋10
=220通り
これで完成です。
この解法は
「全部の場合を重なりなく数える」
という数学の基本が使われています。
(2)解法2 仕切り法（Stars and Bars）
これは高校や大学でも使われる有名な解法です。
最初は少し不思議ですが、理解すると非常に便利です。
ステップ1 そのままでは数えにくい
例えば
○○○
を
10個の箱へ入れることを考えます。
例えば
箱1 ○○
箱2 なし
箱3 ○
なら
2,0,1,0,0,0,0,0,0,0
となります。
しかし
空箱があるので
仕切りだけでは表しにくいのです。
ステップ2 全ての箱に最初から1個ずつ入れる
ここが最大のポイントです。
10個の箱全部に
最初から1個ずつ
ボールが入っていることにします。
すると追加するボールは
元の3個
＋追加10個
=13個
になります。
つまり
●●●●●●●●●●●●●
13個です。
もちろん、この時点では問題が変わっています。
あとで追加した10個を取り除けば元に戻ります。
ステップ3 13個を並べる
13個並べます。
●●●●●●●●●●●●●
ボールとボールの間は
12か所あります。
図で表すと
●｜●｜●｜●｜●｜●｜●｜●｜●｜●｜●｜●｜●
縦棒を入れられる場所は12か所です。
ステップ4 9本の仕切りを入れる
10個の箱に分けるには
仕切りは9本必要です。
例えば
●●｜●｜●●●｜●｜●●｜●｜●｜●｜●●
なら
箱1 2個
箱2 1個
箱3 3個
…
という意味になります。
仕切りの位置だけ決めれば
箱への分け方が一意に決まります。
ステップ5 どこへ仕切りを置くか
仕切りを置ける場所は
12か所
そのうち
9か所
を選びます。
つまり
12C9
です。
しかし
12C9
と
12C3
は同じなので
計算しやすい
12C3
を使います。
計算すると
12×11×10
÷(3×2×1)
=220
になります。
なぜ追加した10個を入れてもいいの？
これが一番重要です。
例えば元の分配が
箱1 0個
箱2 2個
箱3 0個
箱4 1個
だったとします。
各箱へ最初に1個ずつ追加すると
箱1 1個
箱2 3個
箱3 1個
箱4 2個
になります。
今度は
どの箱にも必ず1個以上ある
ので、
ボールだけを並べて
「ボールとボールの間に仕切りを入れる」
という表現ができるようになります。
最後に各箱から1個ずつ取り除けば
元の
0,2,0,1,…
へ完全に戻ります。
つまり、
「各箱に1個ずつ追加する」という操作は、元の分配と1対1に対応しているため、数え方を変えても答えは変わらないのです。
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